解不等式

解不等式

有时候我们需要解不等式，例如：

符号

文字

例子

>

大于

x + 3 > 2

<

小于

7x < 28

≥

大于或等于

5 ≥ x - 1

≤

小于或等于

2y + 1 ≤ 7

解

我们的目标是把x（或变量的符号）独自留在不等号的左边：

像：

x < 5

或：

y ≥ 11

这样我们便 "解"了 不等式。

怎样解

解不等式和解方程非常相似……步骤大部分是相同的……

……可是我们一定要留心不等式的方向。

方向：箭头"指向"哪边

有些运算可能把不等式改变方向！

< 变成 >

> 变成 <

≤ 变成 ≥

≥ 变成 ≤

安全的运算

以下的运算对不等式的方向没有影响：

每边加（或减）一个数

每边乘以（或除以）一个正数

简化一边

例子：3x < 7+3

我们可以简化 7+3 而不影响到不等式：

3x < 10

但以下的运算会改变不等式的方向（例如把 "<" 变成 ">"）：

每边乘以（或除以）一个负数

左右对调

例子：2y+7 < 12

若我们把两边对调，我们也一定要改变不等式的方向：

12 > 2y+7

详细解释：

加或减一个值

我们时常可以在不等式的两边加（或减）一个值（像在代数入门里讲的一样）：

解： x + 3 < 7

每边减 3：

x + 3 - 3 < 7 - 3

x < 4

答案就是：x < 4

换句话说，x 可以是任何小于 4 的值。

我们做了什么？

我们把这个：

变成这个：

x+3 < 7

x < 4

加 和 减很好使，因为它们对不等式没有影响

例子：小李比小王有更多硬币。若小李和小王每人多拿三个硬币，小李仍然比小王有更多硬币。

若我解了以后，"x"是在右边呢？

没关系，把不等式调换，但同时亦要把不等号倒转，以确保它仍然"指着"正确的值或项！

例子：12 < x + 5

每边减 5：

12 - 5 < x + 5 - 5

7 < x

这是答案！

但通常我们把"x"放在左边……

……所以我们把不等式调换（同时倒转不等号！）：

x > 7

留意到不等号仍然"指着"较小的值（7）？

答案是：x > 7

注意："x" 可以 在右边，但惯例是把它放在左边。

乘以或除以一个值

我们也可以把每边乘以或除以一个值（像在代数乘法里讲的一样）。

但我们要特别小心（看下去你就会知道为什么）。

正值

乘以或除以一个正数很简单，没有什么特别：

解：3y < 15

每边除以 3：

3y/3 < 15/3

y < 5

答案是：y < 5

负值

当我们把不等式乘以或除以一个负数，

我们也要把不等号倒转。

为什么？

看看实数直线！

例如，从 3 到 7 是 增加，

但从 -3 到 -7 是 减小。

-7 < -3

7 > 3

留意到不等号改变方向（从 < 变成 >）了？

看一个例子：

解：-2y < -8

每边除以 -2……同时把不等号倒转！

-2y < -8

-2y/-2 > -8/-2

y > 4

这是正确的答案：y > 4

（注意：我在同一行做除和倒转不等号。）

所以，你只要记着：

乘以或除以负数，倒转不等号

乘以或除以变量

再来一个例子（有点刁！）：

解：bx < 3b

乍看很简单，只要把每边除以 b，便得到：

x < 3

……慢着……若 b 是 负数，我们需要把不等式倒转，像这样：

x > 3

可是我们不知道 b 是正数还是负数，所以我们不能解答这问题！

假设你在 bx < 3b里以 1 或 -1 来代替 b：

若 b 是 1，答案是 x < 3

但若 b 是 -1，我们要解的是 -x < -3，答案便是 x > 3

答案可以使 x < 3 或 x > 3。我们不知道是哪个，因为我们不知道 b 是什么。

故此：

不要 除以变量来解不等式（除非你知道那个变量一定是正数或负数）。

一个复杂的例子：

解： (x-3)/2 < -5

首先乘以 2 来移除 "/2"。

我们乘以正数，所以不等式不会改变。

(x-3)/2 ×2 < -5 ×2

(x-3) < -10

每边加 3：

x-3 + 3 < -10 + 3

x < -7

答案是：x < -7

同时有两个不等式！

我们怎样同时解两个不等式？

解：

-2 < (6-2x)/3 < 4

首先，乘以 3 来移除 "/3"：

我们乘以正数，所以不等式不会改变。

-6 < 6-2x < 12

全部减 6：

-12 < -2x < 6

再乘以 -(1/2)。

改变方向。

6 > x > -3

这就是答案！

要整齐一点，我们应该把较小的数放在左边，较大的放在右边。故此，把不等式换边（不要忘记要确保不等号的方向正确）：

-3 < x < 6

总括

解简单的不等式，我们可以在每边加、减、乘或除以等值，直至只有变量单独在不等式的一边。

但要留心以下的运算，因为它们会改变不等式的方向：

每边乘以或除以一个 负数

左右对调

不要乘以或除以变量（除非你知道那个变量一定是正数或负数）

小于或大于

不等式

解不等式应用题

线性不等式绘图

不等式绘图器